数学好きはサイコロを振りまくる

【問】サイコロを同じ目が連続してN回出るまで振るとして振る回数の期待値を求めよ。

はい　いきなり問題から始まりましたが、数学の確率の問題ですね。ちょちょいと解いてやりたいですが案外難しい、pythonでシミュレートしてみましょう。

検証1　実際にやってみる

しかしゴリ押しですので結果的には期待値*10000回の操作を行なっているので時間かかりすぎてしまいます。
実際にN=５になると終わってくれません。

検証2 0＜i＜Nにおいてi回連続で出ている目の事象を保存する。

ようは今回求める期待値っていうのはK回目において条件に合う事象がP個あるとした場合K*P/(6^K)の合計ですね。
だからこれをできるだけ多く足していけばいい感じに漸近して行ってくれるはず。
K回目にi回連続して続いた事象の数がX個ならば
K＋１回目でi+1回連続して続いた事象の数もX個ですね
ただ１回続いて連続して出るっていうのは　つまり直前のと違う目が出るわけですから
K回目の全事象（すでにNかいでてしまっているものは除く）＊５ですね
これで期待値を求めれます。

listをごちゃごちゃやってますがとりあえず大して難しいことはしてません。
とりあえずこの方法なら６くらいまで出ます。それ以上だと漸近するのが遅すぎて正しい値がわかりません。

みたところ

N = 2   ->  7
N = 3   ->  43
N = 4   ->  259

って感じなのできっと答えは(6^N-1)/5なのでしょうが証明ができない。
期待値の問題むずかしいよー